Ein Mathematisches Problem

[Adromir]

Ich habe ein kleines mathematisches Problem, daß ich für die Grundlage für eine prozentuale Wahrscheinlichkeit brauche.

Ich habe die Bevölkerungszahl Europas um das Jahr 600 (ca. 5.5 Mio) und um das Jahr 1300 (ca. 35,5 Mio). Ich möchte nun errechnen, wieviele Menschen insgesamt auf dem Kontinent gelebt haben, bei einer Generationsdauer von sagen wir mal 45 Jahren und einer Verdoppelung der Bevölkerung alle 400 Jahre.

Eigentlich muss es da eine Formel für geben, aber sie will sich mir einfach nicht erschließen..

[steff11]

Also Modell exponentieller Anstieg ... N(t)=N0*exp(kt); deine beiden Wertepaare liefern N0 und k, klar? Nun, was meinst du mit Generationendauer45a? Bis vor wenigen zig Jahren dürfte das die Lebenserwartung gewesen sein. Bei einem Gebäralter von 22,5 Jahren wären also immer 2 komplette Generationen "online", oder mit anderen Worten, nach 22,5a tritt eine Generation komplett ab und eine neue rückt an. Also musst addieren N(0)+N(22,5)+N(45)+N(67,5)+ ... (vor unserer Zeitrechnung nurn paar wenige Gesellen - ignorieren) also eine Reihe mit exponentialen Gliedern der Form N0*exp(22,5*k*n) wobei n die natürlichen Zahlen bis 2006/22,5 durchläuft. Sack und Zwirn, da verrät mir noch nicht mal der olle Bronstein auf die Schnelle einen Zaubertrick; also pack irgendein Basic-Dialekt raus und lass den Knecht summieren

grüssle, Steff

[Adromir]

Öh. Ehrlich gesagt steig ich da noch nicht so richtig durch.
Die Endformel wäre demnach

N0*exp(22.5*k*n)

Aber was ist N0 und k? Da ich nur die Bevölkerung bis 1300 Errechnen will müsste n doch dann 1300 sein oder?

[steff11]

N0 ist die Zahl bei Beginn der Zeitrechnung (t=0 im Modell) und k ist der Wachstumsfaktor. Wenn du das gleichbleibende verdopplungsintervall T2 kennst, kannst auch rechnen k=ln(2)/T2. Aber deine Vorgaben sind schon inkonsistent: Verdopplung alle 400a heißt bei 5,5Mio um 600 ca. 11 Mio um 1000, ca. 20Mio um 1400. Das aber widerspricht doch der Vorgabe um 1300?

Und, nein, No*exp(22,5*k*n) ist die Zahl der Bevölkerung im Jahr 22,5*n. Du musst eine lange Summe solcher Glieder bilden, wie ichs oben beschrieben hab.

[Adromir]

Ok. Jetzt hab ich es verstanden. Danke.
Das mit der Inkonsistenz kommt daher, daß die Daten aus verschiedenen Quellen Stammen. Ich hab jetzt eine Quelle gefunden, die in sich schlüssiger ist.

[Adromir]

Hallo steff11!
Ich hab da noch eine Frage:
Ich hab das ganze jetzt mittels PHP ausrechnen lassen. Das ganze sieht so aus:

  $sum = 0;
  $jahre = 800;
  $generation = 22.5; 
  $y = round($jahre/$generation);
 for($y=1;$y<36;$y++){
 $k = log(2)/400;
 $x = 11900000*exp($generation*$k*$y) ;
 $sum = $sum+$x;
 }
 echo "Summe der Bevölkerung im Mittelalter: ".$sum."<br>\n"; 

Als Startwert habe ich dann 11.9 Millionen genommen (aus einer anderen Quelle) und als Verdoppelungsintervall 400 Jahre. Ist das so korrekt?

[steff11]

Jo, müsste die Gesamtzahl aller Menschen berechnen, die ausgehend von einer 11,9Mio-Population (in welchem Jahr? spielt das eine Rolle?) in den darauf folgenden 800 Jahren lebten. Nur die letzte Zeile vor der for-Schleife dürfte überflüssig sein. Da errechnest du, dass in den 800 Jahren 36 Generationen sich ablösen; das setzt du dann aber manuell als Obergrenze der Schleife ein, verwirrenderweise mit y als Zählvariable. Aber das Ergebnis müsste stimmen. So gut wie deine Modellannahmen stimmen halt.

[Adromir]

Jau. Ich hatte es jetzt mal Testweise für Einzelne Generationen zur Zeit X benutzt zur Überprüfung. Die errechnete Zahl stimmt näherungsweise mit den geschätzten Quellen überein.

Kannst es dir mal unter http://www.die-vaganten.de/bberechnung.php anschauen. Nun habe ich aber ein zweites kleines Problem:

Ich will jetzt ausrechnen wieviel Prozent 15000 von meinem Endergebnis sind. Da komme ich dann auf einen Wert von 0.00165%. Aber irgendwie kommt mir das Ergebniss falsch vor. Wenn ich nämlich 0.00165% Von 1000 nehme, habe ich schon 1.65. Bei 10 000 komme ich auf 16.5, bei 100 000 auf 165, bei 1000000 1650 und bei 10 000 000 schon auf 16500. Das heißt ich habe mich irgendwie um den Faktor 10 vertan.
Obwohl meine Berechnung der Prozentzahl eigentlich richtig ist:

(15000*100)/Bevölkerungssumme = x%

[SvenWeb]

Wenn ich nämlich 0.00165% Von 1000 nehme, habe ich schon 1.65.

Da 0.00165 eine Prozentangabe ist musst du diese natürlich auch durch 100 teilen und dann mit 1000 multiplizieren.

[Adromir]

*gnarf* Doofer Denkfehler.. Prozentrechnung ist einfach zu lange her Danke!

[steff11]

Kannst es dir mal unter http://www.die-vaganten.de/bberechnung.php anschauen.

Ahhh, sehr schön, und ich hab manchmal im Halbdunkel befürchtet, TP wär schon die sinnfreieste Art, die Zeit totzuschlagen. Ich freu mich, zur brennenden Frage der Schuhfindewahrscheinlichkeit beigetragen zu haben

´ne Kleinigkeit aus Mathematikersicht: die errechnete Bevölkerungsanzahl würd ich großzügig auf 900Mio oder besser noch ~1Mrd runden. Mehr Genauigkeit geben deine Annahmen nie her.

[bicornis]

Morgen,
deine Annahme der Lebenserwartung scheint mir sehr optimistisch, Zitat:

"Für Neugeborene des frühen Mittelalters hat man eine wahrscheinliche Lebensdauer von 28 Jahren errechnet. Um 1250 konnte ein Neugeborenes weit über 30 Jahre vor sich haben. Wer aber zur Zeit der großen Pestepidemien auf die Welt kam, beispielsweise Mitte des 14. Jahrhunderts, hatte statistisch gesehen deutlich weniger als 20 Jahre zu leben."

Gruß
Bicornis

[Adromir]

@bicornis: Ja, daß mit der Lebenserwartung ist schon ne kniffelige Sache. Das ist zimlich Quellenabhängig, aber irgendwie muss ich mich ja mal Festlegen. Desweiteren habe ich nur bis 1300 berechnet, weil dann die Zeit der Pest rausfällt und so Statistische Probleme, wie Bevölkerungsknick und Starkes Absinken der Lebenserwartung nicht berücksichtigt werden müssen.

Ich beschäftige mich ja neben der Programmierung auch mit dem Mittelalter und da wollte ich mal so eine anschauliche (aber nicht 100% exakte) Statistik erstellen, wie repräsentativ die Belege sind (hier auf die Schuhe bezogen) wie es von manchen Leuten als "totschlagargument" in Diskussionen verwendet wird..

[pauel]

also so wie ich das verstanden habe, würde ich um die genauigkeit zu erhöhen folgendermassen vorgehen:

du gibst in den jeweiligen zeiträumen (pestepedemien, bblabla) einfach nochmal die jeweiligen werte in die gleichung und ziehst diese dann von deinem ersten ergebnis ab.

haha ich laie

[Adromir]

Naja, das Ergebnis muss nicht 100% genau sein. Bei der ganzen Sache ist die größte Unbekannte ja sowieso, wieviele Schuhe es im Mittelalter wirklich gegeben hat. Denn ich weiß ja nicht, wieviele haben keine Schuhe getragen und wieviele Menschen mehrere Paare hatten. Es soll hauptsächlich ein Eindrucksvolles Beispiel sein, wie niedrig die Anzahl der gefundenen Schuhe zu einer potentiellen Zahl X von Schuhen, die es gegeben haben könnte, ist. Dafür ist die von mir ermittelte Zahl schon ganz ausreichend...

Aber ich werde mal schauen, wie ich das noch verfeinere, wenn ich das in nem Artikel zusammenfasse, welcher sich noch mit Datierungsungenauigeiten und Quellenfehlern befasst..