Dann denkst Du falsch.

Natürlich braucht er eine, nur wird das entweder durch die Jobbeschreibung abgedeckt (Vertreter) oder die Genehmigung erfolgt (konkludent) nachträglich (Angestellter bestellt etwas für die Firma).
Zur Ursprungsfrage:
Ja, dazu kann Dich Deine Schwester bevollmächtigen.
Nein, das muss man nirgends eintragen.
Nein, das Finanzamt/andere Ämter bekommen das (normalerweise*) nicht mit.
*kommt natürlich darauf an, ob das auf der Rechnung steht, wie es aktuell bei den Onlinedurchsuchungen aussieht usw. (also eher fiktiv ...)